Question

3．如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF．
（1）求证：AC=BF；
（2）小正方形MNGF，M在EF上，N点在⊙O上，G点在BF上，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OE，则OD=OE，求证：OC=OF，可以转化为求证Rt△DOC≌Rt△EOF．
（2）连接ON，在Rt△OEF中勾股定理得到OE，然后在Rt△ONG中根据勾股定理，得到关于设正方形FGNK的边长为x的方程，就可以求出x的值．

解答 （1）证明：如图1，连接OD，OE，则OD=OE，
∵四边形CDEF为正方形，
∴CD=FE，∠DCO=∠EFO=90°，
∴在Rt△DOC和Rt△EOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OE}\\{CD=FE}\end{array}\right.$，
∴Rt△DOC≌Rt△EOF，
∴OC=OF，
∵OA=OB，
∴AC=BF；

（2）解：连接ON，设正方形FGNM的边长为x，
由已知及（1）可得EF=1，OF=$\frac{1}{2}$
在Rt△OEF中，OE²=OF²+EF²=（$\frac{1}{2}$）²+1²=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
在Rt△ONG中，ON²=OG²+GN²，OE=ON，
∴1=（$\frac{1}{2}$+x）²+x²，整理得x²+x-2=0．
解得x₁=-$\frac{1+\sqrt{7}}{4}$（不合题意，舍去），x₂=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$，
∴MN=$\frac{\sqrt{7}-1}{4}$．

点评 本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．