Question

如图，正方形ABCD的边AB上有一点P（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕着点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF．则∠CBE的度数是

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质

专题：

分析：如图，作辅助线；首先证明△ADP≌△MPE，得到AD=PM（设为λ），AP=EM（设为μ）；其次证明△EBM为等腰直角三角形，即可解决问题．

解答： 解：如图，过点E作EM⊥AB交AB的延长线于点M；
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=90°，而∠DPE=90°，
∴∠ADP+∠APD=∠APD+∠EPM，
∴∠ADP=∠EPM；
在△ADP与△MPE中，

∠ADP=∠EPM ∠A=∠M PD=PE

，
∴△ADP≌△MPE（AAS），
∴AD=PM（设为λ），
AP=EM（设为μ）；设BM=γ；
∵AB=AD=λ，
∴μ+PB=γ+PB，
∴γ=μ，即△EBM为等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，∠CBE=90°-45°=45°，
故答案为45°．

点评：该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．