Question

【题目】如图，在圆O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且EF2＝PFAF．

（1）求证：F为弧BE的中点；

（2）若tan∠BEF＝，求cos∠ABE的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接AE，根据EF2＝PFAF得出△AFE∽△EFP，从而得出∠EAF＝∠BEF，得证；

（2）连接BF、OF，OF交BE于点Q，根据tan∠BEF＝，设BF＝3m，则AF＝4m，根据勾股定理AB＝5m，再根据得出OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m，再根据tan∠BEF＝算出BQ＝EQ＝ m，从而求算．

（1）证明：连接AE，

∵EF2＝PFAF，

∴，

∵∠AFE＝∠EFP，

∴△AFE∽△EFP，

∴∠EAF＝∠BEF，

∴，

∴F为弧BE的中点；

（2）解：连接BF、OF，OF交BE于点Q，

∵AB是直径，

∴∠AFB＝90°

∵tan∠BEF＝，

∴tan∠BAF＝，

设BF＝3m，则AF＝4m，根据勾股定理AB＝5m，

∴OB＝OF＝m，

∵，

∴OF⊥BE，EQ＝BQ，EF＝BF＝3m，

∵tan∠BEF＝，

∴，

∴

∴BQ＝EQ＝ m，

在Rt△BOQ中，cos∠ABE＝