Question

【题目】如图1,在中,于点的垂直平分线交于点,交于点,，．

(1)如图2,作于点,交于点,将沿方向平移,得到，连接．

①求四边形的面积；

②直线上有一动点,求周长的最小值．

(2)如图3．延长交于点．过点作,过边上的动点作,并与交于点,将沿直线翻折,使点的对应点恰好落在直线上,求线段的长．

Answer 1

【答案】(1)①；②周长的最小值为9；(2)的长为或．

【解析】（1）①根据相似三角形的判定和性质以及平移的性质进行解答即可；

②连接CM交直线EF于点N，连接DN，利用勾股定理解答即可；

（2）分点P在线段CE上和点P在线段ED上两种情况进行解答．

（1）①在ABCD中，AB=6，直线EF垂直平分CD，

∴DE=FH=3，

又BF：FA=1：5，

∴AH=2，

∵Rt△AHD∽Rt△MHF，

∴，即，

∴HM=1.5，

根据平移的性质，MM'=CD=6，连接BM，如图1，

四边形BHMM′的面积=×6×1.5+×4×1.5＝7.5；

②连接CM交直线EF于点N，连接DN，如图2，

∵直线EF垂直平分CD，

∴CN=DN，

∵MH=1.5，

∴DM=2.5，

在Rt△CDM中，MC2=DC2+DM2，

∴MC2=62+（2.5）2，

即MC=6.5，

∵MN+DN=MN+CN=MC，

∴△DNM周长的最小值为9．

（2）∵BF∥CE，

∴，

∴QF=2，

∴PK=PK'=6，

过点K'作E'F'∥EF，分别交CD于点E'，交QK于点F'，如图3，

当点P在线段CE上时，

在Rt△PK'E'中，

PE'2=PK'2-E'K'2，

∴PE′＝2，

∵Rt△PE'K'∽Rt△K'F'Q，

∴，即，

解得：QF′＝，

∴PE=PE'-EE'=2＝，

∴CP＝，

同理可得，当点P在线段DE上时，CP′＝，如图4，

综上所述，CP的长为或．