Question

9．如图，△ABC是等边三角形，点E是BC延长线上的点，BE的垂直平分线交AC于点D，垂足为M，CE=CD，求证：AD=CD．

Answer 1

分析 先根据△ABC是等边三角形可知∠B=∠ACB=60°，再根据CE=CD可知∠CDE=∠E，由三角形外角的性质可知∠ACB=∠E+∠CDE=60°，故∠E=30°，由DE垂直平分BE可得出∠E=∠DBE=30°，故BD=DE，再根据等边三角形的三线合一性质得出AD=CD．

解答 证明：连接BD，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
又∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠E=30°，
又∵DM垂直平分BE，
∴BD=DE，
∴∠E=∠DBC=30°，
∵∠B=60°，
∴∠ABD=∠DBC=30°，即BD是正△ABC的角平分线，
∴BD又是边AC的中线，即D点是AC边的中点，
∴AD=CD．

点评 本题考查的是等边三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出△BDE是等腰三角形是解答此题的关键．