Question

已知以点A（-1，-2）为顶点的抛物线与x轴交于B、C两点（点B在对称轴的左侧），BC=4．
（1）求以抛物线为图象的二次函数解析式；
（2）假设直线AO（O为坐标原点）与抛物线的另一个交点为D．求证：x轴是∠ABD的对称轴．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）可设顶点式，由条件可知对称轴为x=-1，设对称轴交x轴于点E，且BC=4，可知BE=CE=2，可求得B，C两点的坐标，代入可求得解析式；
（2）可先求得直线AO的方程，联立抛物线方程可求得D点坐标，过D作DF⊥x轴，交x轴于点F，可知DF=BF，知∠DBC=45°，且AE=BE，则∠ABC=45°，可证得结论．

解答：（1）解：因为顶点坐标为A（-1，2），所以其对称轴为x=-1，设对称轴交x轴于点E，如图，则BE=CE，且BC=4，
所以CE=2，可知C点坐标为（1，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）²-2，
把C点坐标代入可得：4a-2=0，解得a=

1

2

，
所以抛物线解析式为：y=

1

2

（x+1）²-2，
即y=

1

2

x²+x-

3

2

；
（2）证明：设直线AO的解析式为y=kx，代入A点坐标可得-2=-k，解得k=2，
所以直线AO的解析式为y=2x，
代入y=

1

2

x²+x-

3

2

可得2x=

1

2

x²+x-

3

2

，
解得x=-或3，所以D点坐标为（3，6），
如图，过D作DF⊥x轴，交x轴于点F，则DF=6，而OF=3，且BO=3，所以BF=DF，所以∠DBF=45°，
在Rt△ABE中，BE=2，AE=2，所以∠ABE=45°，
所以∠DBF=∠ABF，
所以x轴是∠ABD的对称轴．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式，已知抛物线的顶点时可设成顶点式，在证明x轴是∠ABD的对称轴是利用坐标得出线段的长再得出角相等是解题的关键．