Question

16．矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E是CD的中点，F、G是BC上的两个动点，FG=3，则四边形AFGE周长最小时，CG=$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 作E关于BC的对称点M，在AD上截取AH=3，然后连接HM交BC于G，接着在GB上截取GF=3，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边CD的中点，得到CE=CM=2，MD=6，而AH=3，求得DH=5，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵G为BC上的一个动点，
∴如图，作E关于BC的对称点M，在AD上截取AH=3，然后连接HM交BC于G，接着在GB上截取GF=3，
那么G、F两点即可满足使四边形AFGE的周长最小．
∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为边CD的中点，
∴CE=CM=2，MD=6，而AH=3，
∴DH=5，
而BC∥AD，
∴△CGM∽△DHM，
∴CG：HD=MC：MD，
∴CG=$\frac{DH•MC}{MD}$=$\frac{5}{3}$，
故答案为：$\frac{5}{3}$．

点评 此题分别考查了轴对称-最短路程问题、勾股定理、矩形及相似三角形的性质等知识，有点难度，要求学生平时加强训练．