Question

11．如果一列数a₁，a₂，…满足对任意的正整数n都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=n³，则$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{100}-1}$的值为（　　）

• A． $\frac{33}{100}$
• B． $\frac{11}{100}$
• C． $\frac{11}{99}$
• D． $\frac{33}{101}$

Answer 1

分析 令n=1、2、3…，求出a₁，a₂，…的值，在表示出a₂-1，a₃-1，…从而得出规律，再提取$\frac{1}{3}$后利用拆项法解答．

解答 解：根据题意，当n=1时，a₁=1³=1，
当n=2时，a₁+a₂=2³，a₂=2³-1=7，
所以a₂-1=7-1=6=3×（1×2），
当n=3时，a₁+a₂+a₃=3³，a₃=3³-2³=19，
所以a₃-1=19-1=18=3×（2×3），
当n=4时，a₁+a₂+a₃+a₄=4³，a₄=4³-3³=37，
所以a₄-1=37-1=36=3×（3×4），
…
a₁₀₀=100³-99³
=（100-99）×（100²+100×99+99²）
=100²+100×（100-1）+（100-1）²
=100²+100²-100+100²-200+1
=3×100²-300+1，
所以a₁₀₀-1=3×100²-300+1-1=100×（300-3）=100×297=3×（99×100），
$\frac{1}{{a}_{2}-1}$+$\frac{1}{{a}_{3}-1}$+…+$\frac{1}{{a}_{100}-1}$
=$\frac{1}{3×（1×2）}$+$\frac{1}{3×（2×3）}$+$\frac{1}{3×（3×4）}$+…+$\frac{1}{3×（99×100）}$
=$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{3}$×（1-$\frac{1}{100}$）
=$\frac{1}{3}$×$\frac{99}{100}$
=$\frac{33}{100}$，
故选：A．

点评 本题考查了数字的变化规律，令n=1、2、3…，分别求出a₂-1，a₃-1，a₄-1，…，a₁₀₀-1并发现规律是解题的关键．