Question

3．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．
（1）设△POQ的面积为s，写出s关于t的函数关系式；当t为何值时，△POQ的面积最大，这时面积是多少
（2）当t为何值时，△POQ与△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）直接根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）分△POQ∽△AOB与△POQ∽△BOA两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动，
∴OB=6-t，OP=t，
∴s=OQ•OP=$\frac{1}{2}$（6-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+3t，（0≤t≤6）
配方得，s=-$\frac{1}{2}$t²+3t=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$，
因为-$\frac{1}{2}$＜0，所以，当t=3时，s有最大值$\frac{9}{2}$．

（2）①若△POQ∽△AOB时，$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{t}{12}$，
整理得，12-2t=t，解得，t=4；
②若△POQ∽△BOA时，$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{t}{6}$，
整理得：6-t=2t，解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．

点评 本题考查的是相似形综合题，涉及到三角形的面积公式及相似三角形的性质，在解答（2）时要注意进行分类讨论．