Question

14．已知：等边△ABC的边长为2，点D为平面内一点，且BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，则CD=2或4．

Answer 1

分析 ①根据等腰三角形的性质，可得DE的长，根据正弦函数，可得∠CAD的度数，根据等边三角形，可得CD的长；
②根据等腰三角形的性质，可得DE的长，根据正弦函数，可得∠EAD的度数，根据角的和差，可得A、C、D在同一条直线上，根据线段的和差，可得答案．

解答 解：如图1：

由BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，得
AD=AB=AC=2．
由等腰三角形的性质，得
DE=$\sqrt{3}$．
sin∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠DAE=60°，△ACD是等边三角形，
CD=AC=2；
如图2：
，
由BD=$\sqrt{3}$AD=2$\sqrt{3}$，得
AD=AB=AC=2．
由等边三角形的性质，得
DE=$\sqrt{3}$，∠DAE=∠BAE．
sin∠DAE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∠DAE=∠BAE=60°，
AD与AC在同一条直线上，
CD=AC=2；
CD=AD+AC=2+2=4．
故答案为：2或4．

点评 本题考查了三角形的外心，利用等腰三角形的性质得出DE=$\sqrt{3}$，∠DAE=∠BAE是解题关键．