Question

5．已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴，y轴于A、B两点，⊙O₁过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿A→B→A运动后停止；动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO₁交y轴于E点，P、Q运动的时间为t（秒）．
（1）求E点的坐标和S_△ABE的值；
（2）试探究点P、Q从开始运动到停止，直线PQ与⊙O₁有哪几种位置关系，并求出对应的运动时间t的范围．

Answer 1

分析 （1）依题意容易知道O₁的坐标，根据待定系数法可以确定直线AE的解析式，然后求出E的坐标，最后求出S_△ABE；
（2）容易知道当Q运动到O点时PQ与圆相切，此时t=1，所以可以确定其他位置的t的值．

解答 解：（1）由题意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
设AO₁的直线的解析式为y=kx+b，则有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=$\frac{2}{3}$，k=$\frac{1}{3}$，∴y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$，
∴E（0，$\frac{2}{3}$），
∴BE=$\frac{4}{3}$，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$OA•BE=$\frac{4}{3}$；

（2）直线PQ与⊙O₁有三种位置关系，分别是相离，相切，相交；
∵动点P沿A→B→A运动后停止；动点Q沿A→O→D→C→B运动，
∴根据切线的定义，如果PQ与⊙O₁相切，切点只能是O、D、C、B中的一个．
分两种情况：
①当点P从A点移到B点时，由于OA=OB=2，∴AB=2$\sqrt{2}$，
∴t=2$\sqrt{2}$$÷\sqrt{2}$=2，
当t=2时，点Q从A点运动到D点，当到达D点时，点P在B点处，显然不合题意，舍去，
当点Q在O点时，如图①，此时t=2÷2=1，
连结O₁Q、PQ，
∴PA=$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$AB，
∵QA=QB，
∴∠PQB=$\frac{1}{2}∠$AQB=45°，
∵O₁是正方形ODCB的中心，
∴∠O₁QB=45°，
∴∠PQO₁=90°，
∴PQ为⊙O₁的切线，此时t=1；
②当点P从B点移到A点时，点Q从D点经过C点到达B点，
显然，当点Q在点C处时，PQ与⊙O₁相交，
当点Q运动到B点时，点P回到了点A，如图②，
同理可证此时PQ与⊙O₁相切，易得t=4
综上，当t=1或t=4时，PQ与⊙O₁相切；
故由题意可知：当PQ与⊙O₁相离，0＜t＜1；
当PQ与⊙O₁相切时，t=1或t=4；
当PQ与⊙O₁相交时，1＜t＜4．

点评 本题考查了圆的综合题：圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径；待定系数法是求函数解析式常用的方法；熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质以及坐标轴上点的坐标特点．