Question

10．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒2cm的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1cm的速度运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．

（1）求AB的长；
（2）当t为多少时，△ABD为等腰三角形？
（3）当t为多少时，△ABD≌△ACE，并简要说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用勾股定理直接求出；
（2）首先求出△ABD中BD边上的高，然后根据面积公式列出方程，求出BD的值，分两种情况分别求出t的值；
（3）假设△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得出BD=CE，分别用含t的代数式表示CE和BD，得到关于t的方程，从而求出t的值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴2AB²=BC²，
∴AB=$\frac{BC}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$cm；
（2）如图所示，

①当D在B点右侧，且BD=AB，
∴BD=AB=4$\sqrt{2}$cm，
∴CD=BC-BD=8-4$\sqrt{2}$cm，
∴t=$\frac{8-4\sqrt{2}}{2}$=（4-2$\sqrt{2}$）s；
②当D在B点右侧，且AD=BD，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴CD=BC=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
∴t=$\frac{4}{2}$=2s；
③当D在B点左侧，且BD=AB，
∴CD=BC+BD=8+4$\sqrt{2}$cm，
∴t=$\frac{8+4\sqrt{2}}{2}$=（4+2$\sqrt{2}$）s；
故当t为4±2$\sqrt{2}$或2s时，△ABD为等腰三角形．
（3）动点E从点C沿射线CM方向运动$\frac{8}{3}$秒或当动点E从点C沿射线CM的反向延长线方向运动8秒时，△ABD≌△ACE．
理由如下：（说理过程简要说明即可）
①当E在射线CM上时，D必在CB上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=8-2t
∴t=8-2t，
∴t=$\frac{8}{3}$，
证明：在△ABD和△ACE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠ACE=45°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
②当E在CM的反向延长线上时，D必在CB延长线上，则需BD=CE．
∵CE=t，BD=2t-8，
∴t=2t-8，
∴t=8，
证明：在△ABD和△ACE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠ACE=135°}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．

点评 本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质及面积，综合性强，题目难度适中，解决本题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．