Question

15．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．
（1）当t=2时，求线段PQ的长度；
（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm²？
（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当t=2时，可求出CP，CQ的长，根据勾股定理即可求出线段即斜边PQ的长；
（2）由三角形面积公式可建立关于t的方程，解方程求出t的值即可；
（3）延长QE交AC于点D，若PE⊥AB，则QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出DE=0.5t，易证△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性质可得$\frac{DE}{AC}=\frac{PE}{BC}$，把已知数据代入即可求出t的值．

解答 解：
（1）当t=2时，
∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴AP=2厘米，QC=4厘米，
∴PC=4，在Rt△PQC中PQ=$\sqrt{A{P}^{2}+Q{C}^{2}}$=$4\sqrt{2}$厘米；
（2）∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，
∴PC=AC-AP=6-t，CQ=2t，
∴S△CPQ=$\frac{1}{2}$CP•CQ=$\frac{{（{6-t}）•2t}}{2}=5$，
∴t²-6t+5=0
解得t₁=1，t₂=5（不合题意，舍去）
∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm²；
（3）能垂直，理由如下：
延长QE交AC于点D，
∵将△PQC翻折，得到△EPQ，
∴△QCP≌△QEP，
∴∠C=∠QEP=90°，
若PE⊥AB，则QD∥AB，
∴△CQD∽△CBA，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{QD}{AB}$，
∴$\frac{2t}{8}=\frac{QD}{10}$，
∴QD=2.5t，
∵QC=QE=2t
∴DE=0.5t
易证△ABC∽△DPE，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{PE}{BC}$
∴$\frac{0.5t}{6}=\frac{6-t}{8}$，
解得：t=$\frac{18}{5}$（0≤t≤4），
综上可知：当t=$\frac{18}{5}$时，PE⊥AB．

点评 此题考查了勾股定理、三角形的面积公式、相似三角形的判定性质与判定等知识以及折叠的性质，综合性很强，比较难，内容比较多，也是一个动点问题，对于学生的能力要求比较高，是一道不错的中考题．