Question

7．如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=6cm，BC=12cm，点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，如果动点E、F同时从A、B两点出发，连接EF，若设运动时间为ts，解答下列问题．
（1）当t为2s时，△BEF为等腰直角三角形；
（2）当t为3s时，△DFC为等腰直角三角形；
（3）是否存在某一时刻，使△EFB∽△FDC？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易证四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠B=∠C=90°，若△BEF为等腰直角三角形，则BE=BF，进而可求出t的值；
（2）由（1）可知∠C=90°，若△DFC为等腰直角三角形，则CF=DC，进而可求出t的值；
（3）若△EFB∽△FDC，则BE：CF=BF：DC，结合题目的已知条件可得到关于t的方程，解方程即可得知是否存在t的值．

解答 解：
（1）∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=90°，
∴若△BEF为等腰直角三角形，则BE=BF，
∵点E由点A出发沿AB方向向点B匀速移动，速度为1cm/s，点F由点B出发沿BC方向向点C匀速移动，速度为2cm/s，AB=6cm，BC=12cm，
∴BE=（6-t）cm，BF=2t，
∴6-t=2t，
∴t=2s，
故答案为2s；
（2）由（1）可知若△DFC为等腰直角三角形，则CF=DC，
∵CF=2tcm，DC=6cm，
∴2t=6，
∴t=3s，
故答案为3s；
（3）存在某一时刻，使△EFB∽△FDC，
∵△EFB∽△FDC，
∴BE：CF=BF：DC，
∴$\frac{6-t}{12-2t}=\frac{2t}{6}$，
整理得：2t²-15t+18=0，
即（2t-3）（t-6）=0，
解得：t=1.5或t=6（舍），
∴当t=1.5时，△EFB∽△FDC．

点评 本题综合考查了和相似三角形有关的问题，用到的知识点有矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、一元二次方程的运用以及相似三角形的判定和性质，特别是（3）小问得到关于t的一元二次方程是解题关键．