Question

12．抛物线y=ax²+bx+2（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D在该抛物线对称轴上，D点的纵坐标为m，当∠ODB为锐角时，m的取值值范围为$m＜-\sqrt{2}$或$m＞\sqrt{2}$；
（3）平行于y轴的一条直线x=n（n＜3）交x轴于点E，交抛物线于点F，连结BF、BC，求当n为何值时，△BEF∽△COB．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（3，0）两点坐标代入y=ax²+bx+2（a≠0），得$\left\{\begin{array}{l}a-b+2=0\\ 9a+3b+2=0\end{array}\right.$，求出a，b的值，即可解答．
（2）点D的坐标为（1，m），当∠ODB=90°时，根据勾股定理求出m的值，所以当∠ODB为锐角时，m的取值值范围为：m＞$\sqrt{2}$或m$＜-\sqrt{2}$．
（3）由题知E（n，0）、F（n，$-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2$），分两种情况讨论：当n＜-1时，当-1＜n＜3时，由△BEF∽△COB，得到$\frac{EF}{OB}=\frac{BE}{CO}$，进一步得到关于n的方程，即可求出n的值．

解答 解：（1）把A（-1，0）、B（3，0）两点坐标代入y=ax²+bx+2（a≠0），
得$\left\{\begin{array}{l}a-b+2=0\\ 9a+3b+2=0\end{array}\right.$ 
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{2}{3}\\ b=\frac{4}{3}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
（2）如图1，当∠ODB=90°时，

∵抛物线的解析式$y=-\frac{2}{3}{x^2}+\frac{4}{3}x+2$．
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵D点的纵坐标为m，
∴点D的坐标为（1，m），
在Rt△DEO中，OD²=OE²+DE²=1²+m²=1+m²，
在Rt△DEB中，DB²=DE²+BE²=m²+2²=m²+4，
在Rt△ODB中，OB²=OD²+BD²
即3²=1+m²+m²+4，
解得：m=$±\sqrt{2}$，
∴当∠ODB为锐角时，m的取值值范围为：m＞$\sqrt{2}$或m$＜-\sqrt{2}$．
故答案为：$m＜-\sqrt{2}$或$m＞\sqrt{2}$．
（3）由题知E（n，0）、F（n，$-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2$），
当n＜-1时，如图2，

由△BEF∽△COB，$\frac{EF}{OB}=\frac{BE}{CO}$，
即$\frac{{-（-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2）}}{3}=\frac{3-n}{2}$，
整理得：4n²+n-39=0，
解得，${n_1}=-\frac{13}{4}，{n_2}=3$（舍去），
当-1＜n＜3时，如图3，

由△BEF∽△COB，$\frac{EF}{OB}=\frac{BE}{CO}$，
即$\frac{{（-\frac{2}{3}{n^2}+\frac{4}{3}n+2）}}{3}=\frac{3-n}{2}$，
整理得：4n²-17n+15=0，
解得，${n_1}=\frac{5}{4}，{n_2}=3$（舍去），
综上，当n的值等于$-\frac{13}{4}$、$\frac{5}{4}$时，△BEF∽△COB．

点评 本题考查了求二次函数的解析式、勾股定理、相似三角形的性质定理，解决本题（3）的关键是进行分类讨论，利用相似三角形的性质定理得到关于n的方程．