Question

17．如图，MP切⊙O于点M，直线PO交⊙O于点A，B，弦AC∥MP，当PA，AO满足什么条件时，四边形BOMC为菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 根据切线的性质得OM⊥PM，而AC∥MP，所以OM⊥AC，再由圆周角定理得∠ACB=90°，所以OM∥BC，当PA=OA时可证明△ABC≌△POM，则OM=BC，于是可判断四边形BOMC为平行四边形，加上OB=OM，则可判断四边形BOMC为菱形．

解答 解：PA=AO时，四边形BOMC为菱形．理由如下：
∵MP切⊙O于点M，
∴OM⊥PM，
∵AC∥MP，
∴OM⊥AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴OM∥BC，
∴∠B=∠MOP，
∵PA=OA，
∴AB=OP，
在△ABC和△POM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠PMO}\\{∠ABC=∠POM}\\{AB=PO}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△POM，
∴OM=BC，
∴四边形BOMC为平行四边形，
而OB=OM，
∴四边形BOMC为菱形．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了菱形的判定．