【题目】如图15,已知抛物线C:y=x2-3x+m,直线l:y=kx(k>0),当k=1时,抛物线C与直线l只有一个公共点.
(1)求m的值;
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,直线l与直线l1:y=-3x+b交于点P,且+=,求b的值;
(3)在(2)的条件下,设直线l1与y轴交于点Q,问:是否存在实数k使S△APQ=S△BPQ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.
【答案】(1)4;(2)8;(3)不存在.
【解析】试题分析:(1)两图象有一个交点,则对应的方程组有一组解,即△=0,代入计算即可求出m的值;
(2)作出辅助线,得到△OAC∽△OPD, +=2,同理+=2,AC,BE是x2-(k+3)x+4=0两根,即可;
(3)由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD,建立方程(k+3)2=16即可.
试题解析:(1)∵当k=1时,抛物线C与直线l只有一个公共点,
∴方程组有且只有一组解.
消去y,得x2-4x+m=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.
∴△=0,即(-4)2-4m=0.
∴m=4.
(2)如图,分别过点A,P,B作y轴的垂线,垂足依次为C,D,E,
则△OAC∽△OPD,∴=.
同理, =.
∵+=,∴+=2.
∴+=2.
∴+=,即=.
解方程组得x=,即PD=.
由方程组消去y,得x2-(k+3)x+4=0.
∵AC,BE是以上一元二次方程的两根,
∴AC+BE=k+3,AC·BE=4.
∴=.
解得b=8.
(3)不存在.理由如下:
假设存在,则当S△APQ=S△BPQ时有AP=PB,
于是PD-AC=PE-PD,即AC+BE=2PD.
由(2)可知AC+BE=k+3,PD=,
∴k+3=2×,即(k+3)2=16.
解得k=1(舍去k=-7).
当k=1时,A,B两点重合,△QAB不存在.
∴不存在实数k使S△APQ=S△BPQ.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点E,其中点A(1,1),B(5,1),C(5,5),D(1,5).一个口袋中装有5个完全相同的小球,上面分别标有数字1,2,3,4,5,搅匀后从中摸出一个小球,把球上的数字作为点P的横坐标,放回后再摸出一个小球,将球上数字作为点P的纵坐标,求点P落在阴影部分(含边界)的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx﹣4(a≠0)的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若点P(m,n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m>0,n<0),连结PB,PD,BD,求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C
(1)求点A,B,C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点,点F是其对称轴上的点,求以A,B,E,F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△ACM是等腰三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】观光塔是潍坊市区的标志性建筑,为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m.
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【题目】将代数式x2+10x+17化成(x+a)2+b的形式为( )
A.(x+5)2+8B.(x+5)2﹣8C.(x﹣5)2+10D.(x+5)2﹣10
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