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【题目】如图15,已知抛物线Cyx2-3xm,直线lykx(k>0),当k=1时,抛物线C与直线l只有一个公共点.

(1)求m的值;

(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点AB,直线l与直线l1y=-3xb交于点P,且,求b的值;

(3)在(2)的条件下,设直线l1y轴交于点Q,问:是否存在实数k使SAPQSBPQ,若存在,求k的值;若不存在,说明理由.

【答案】(1)4;(2)8;(3)不存在.

【解析】试题分析:(1)两图象有一个交点,则对应的方程组有一组解,即△=0,代入计算即可求出m的值;

(2)作出辅助线,得到△OAC∽△OPD, =2,同理=2,AC,BE是x2-(k+3)x+4=0两根,即可;

(3)由S△APQ=S△BPQ得到AC+BE=2PD,建立方程(k+3)2=16即可.

试题解析:(1)∵当k=1时,抛物线C与直线l只有一个公共点,

∴方程组有且只有一组解.

消去y,得x2-4xm=0,所以此一元二次方程有两个相等的实数根.

∴△=0,即(-4)2-4m=0.

m=4.

(2)如图,分别过点APBy轴的垂线,垂足依次为CDE

则△OAC∽△OPD,∴

同理,

,∴=2.

=2.

,即

解方程组x,即PD

由方程组消去y,得x2-(k+3)x+4=0.

ACBE是以上一元二次方程的两根,

ACBEk+3,AC·BE=4.

解得b=8.

(3)不存在.理由如下:

假设存在,则当SAPQSBPQ时有APPB

于是PDACPEPD,即ACBE=2PD

由(2)可知ACBEk+3,PD

k+3=2×,即(k+3)2=16.

解得k=1(舍去k=-7).

k=1时,AB两点重合,△QAB不存在.

∴不存在实数k使SAPQSBPQ

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