Question

16．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，AC＞CD，∠ACB=∠DCE且点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）若∠ACB=60°，则∠AEB的度数为60°；线段AD、BE之间的数量关系是相等；
（2）若∠ACB=n°，用n表示∠AEB并说明理由；
（3）如图2，若∠ACB=∠DCE=90°，点M是DE的中点．若CM=7，BE=10，试求AB的长．（请写全必要的证明和计算过程）

Answer 1

分析 （1）易证∠ACD=∠BCE，即可证明△ACD≌△BCE，可得∠CDA=∠CEB，AD=BE，根据∠CDA=180°-∠CDE和∠CED=60°，即可求得∠AEB的值，即可解题；
（2）如图1，根据已知条件∠ACB=∠DCE，求得∠ACD=∠BCE，推出△ACD≌△BCE（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）如图2，根据等腰直角三角形的性质得到DE=2CM=14，由于∠ACB=∠DCE=90°，得到∠ACD=∠BCE，证得△ACD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到AD=BE=10，∠CAD=∠CBE，根据三角形的内角和得到∠AEB=∠ACH=90°，根据勾股定理即可得到结论；

解答 解：（1）∵∠ACD+∠DCB=60°，∠DCB+∠BCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CDA=∠CEB，AD=BE，
∵∠CDA=180°-∠CDE=120°，∠CED=60°，
∴∠AEB=120°-60°=60°；
故答案为：60°，相等；

（2）如图1，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠AHC=∠BHE，
∴∠AEB=∠ACB=n；

（3）如图2，∵点M是DE的中点，
∴CM=DM，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CM⊥DE，CM=DM=7，
∴DE=2CM=14，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE=10，∠CAD=∠CBE，
∵∠AHC=∠BHE，
∴∠AEB=∠ACH=90°，
∵AE=AD+DE=24，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{2{4}^{2}+1{0}^{2}}$=26．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内角和，本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键．