Question

阅读：如图1，在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a＜b），B、C、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合．
连接AE、FC，我们可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小关系证明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．
证明过程如下：
∵BC=b，BE=a，EC=b-a．
∴S△ACE=

1

2

EC•AB=

1

2

(b-a)a，S△FCE=

1

2

EC•FE=

1

2

(b-a)b．
∵b＞a＞0
∴S_△FCE＞S_△ACE
即

1

2

(b-a)b＞

1

2

(b-a)a
∴b²-ab＞ab-a²
∴a²+b²＞2ab
解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD=k（b-a），且0≤k≤1．如图2，当BD=EC时，k=

 

．利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a²+b²＞2ab（b＞a＞0）．
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式．请你画出一个示意图，并简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD、BF，构成同底的两个三角形，再利用两个三角形的边之间的关系，代入三角形的面积公式求解即可；
（2）答案不唯一，举例说明：根据直角三角形及矩形的面积公式求得面积后，再根据它们之间的数量关系来比较．

解答：解：（1）k=

1

2

；
证明：连接AD、BF．
可得BD=

1

2

(b-a)，
∴S△ABD=

1

2

BD•AB
=

1

2

×

1

2

×(b-a)•a
=

1

4

a(b-a)S△FBD
=

1

2

BD•FE
=

1

2

×

1

2

×(b-a)•b
=

1

4

b(b-a)．
∵b＞a＞0，∴S_△ABD＜S_△FBD，即

1

4

a(b-a)＜

1

4

b(b-a)，
∴ab-a²＜b²-ab．∴a²+b²＞2ab；

（2）答案不唯一，图（1分），理由：
举例：如图，理由：
延长BA、FE交于点I．
∵b＞a＞0，∴S_矩形IBCE＞S_矩形ABCD，
即b（b-a）＞a（b-a）．
∴b²-ab＞ab-a²．
∴a²+b²＞2ab．
举例：如图，理由：
四个直角三角形的面积和S1=4×

1

2

a•b=2ab，
大正方形的面积S₂=a²+b²．∵b＞a＞0，∴S₂＞S₁．∴a²+b²＞2ab．

点评：做这类题目时，结合图形来解答会降低题的难度．