Question

4．如图所示，设I是△ABC的内心（三条角平分线的交点），AI的延长线交BC边于点D，交△ABC的外接圆于点E，若IE=4，AE=8，则线段DE的长是2．

Answer 1

分析 根据题意可以得到△BED和△AEB相似的条件，然后根据相似三角形对应边成比例，可以求得DE的长，从而可以解答本题．

解答 解：连接IB，如右图所示，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD，
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI=∠CAD+∠IBD=∠IBD+∠DBE=∠IBE，
∴BE=IE，
在△BED和△AEB中，
∠EBD=∠CAD=∠BAD，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，
∴$\frac{BE}{AE}=\frac{DE}{BE}$，
∵IE=4，AE=8，
∴BE=4，
即DE=$\frac{B{E}^{2}}{AE}=\frac{{4}^{2}}{8}=2$，
故答案为：2．

点评 本题考查三角形的内心与外心、三角形相似，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．