Question

在菱形ABCD中，∠B=60°，点E在射线BC上运动，∠EAF=60°，点F在射线CD上．
（1）当点E在线段BC上时（如图1），求证：EC+CF=AB；
（2）当点E在BC的延长线上时（如图2），线段EC、CF、AB有怎样的相等关系？写出你的猜想，不需证明．

Answer 1

（1）证明：连接AC，如下图所示：
在菱形ABCD中，∠B=60°，∠EAF=60°，△ABC和△ACD为等边三角形，
∴，
∴△AEC≌△AFD（ASA），
∴EC+CF=DF+CF=CD=AB．

（2）解：线段EC、CF、AB的关系为：CF-CE=AB．
分析：（1）已知∠B=60°，不难求出∠ABC，∠DAC的度数为60°，从而进一步求得△ABC，△ACD为正三角形，从而证明△AEC≌△AFD，图1得出EC+CF=AB、
（2）图2先证明△ADF≌△ACE，DF=CE，CF=CD+DF=CE+BC，得出CF-CE=AB．
点评：本题考查菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，要充分联想到它具有的边、角和对角线的性质，并把它们和其他的已知条件进行综合分析从而求解．