Question

【题目】已知抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，且CE ：BE=1 ：2，连接BD，作CF//AB交抛物线对称轴于点H，交BD于点F．

（1）写出A、B两点的坐标：A（ ， ），B（ ， ）

（2）若四边形BEHF的面积为，求抛物线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，抛物线对称轴上是否存在点M，使得∠CMF=∠CBF，若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-1，0；3，0；（2）y=﹣x2 + 2x + 3 ；（3）

【解析】

（1）设对称轴与x轴交于点G，根据CE：BE=1：2得出OG：BG=1:2，再结合对称轴为直线x=1可得OG和BG的长，从而得到点B坐标，再利用两根之和得出点A坐标；

（2）设抛物线表达式为，得到点C和点D的坐标，求出BD和BC的表达式得到E和F的坐标，再利用S四边形BEFH=S△BCF-S△CHE得到方程求出a的值即可；

（3）根据（2）得出B，C，F的坐标，设△BCF的外接圆圆心为点P，根据题意设点P坐标为（m，m），由PC2=PF2，列出方程求出m值，再根据M在抛物线对称轴上，∠CMF=∠CBF，设M（1，n），根据PM2=PC2，列出方程求出n值即可得到结果.

解：（1）如图，设对称轴与x轴交于点G，

∵CE：BE=1：2，DG∥y轴，

可得OG：BG=1:2，

在抛物线中，

对称轴为直线x=1，

∴OG=1，BG=2，

∴B（3，0），

则点A的横坐标为：2-3=-1，

则A（-1，0），

故答案为：A（-1，0）， B（3，0）；

（2）设，

得：C（0，﹣3a），D（1，﹣4a），

∵B（3，0），设BD的表达式为：y=kx+b，将B和C代入，

，解得：，

∴BD的表达式为：，

∵CF//AB，

令y=-3a，解得x=，

∴，

同理可得：BC的表达式为：，

令x=1，则y=-2a，

∴E（1，-2a），

S四边形BEFH=S△BCF-S△CHE==，

解得：a=﹣1，

∴y=﹣x2 + 2x + 3；

（3）由（2）可得：C（0，3），B（3，0），F（，3），

∵OB=OC，

设△BCF的外接圆圆心为点P，可知点P到点B的距离等于点P到点C的距离，

可知点P在直线y=x上，

∴设点P坐标为（m，m），

∵PC2=PF2，

∴，

解得：m=，

∴P（，），

∵M在抛物线对称轴上，∠CMF=∠CBF，

∴M在△BCF的外接圆上，

设M（1，n），

则有PM2=PC2，

∴，

解得n=（舍）或，
∴.