Question

13．已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC⊥AC，CD⊥AD，且AB=18，AC=12．
（1）求AD和CD的长度；
（2）若DE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E、F，求$\frac{DE}{CF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义得到∠BAC=∠CAD，由于∠ACB=∠ADC=90°，推出△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD，
∵BC⊥AC，CD⊥AD，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ABC∽△ACD，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}=\frac{144}{18}$=8，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$；

（2）由（1）证得△ABC∽△ACD，
∵DE⊥AC，CF⊥AB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{DE}{CF}$=$\frac{12}{18}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．