Question

3．如图．已知△ABC是等边三角形，D，B，C，E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）试写出图中所有的相似三角形；
（2）式子BC²=DB•CE成立吗？若成立，给出证明；若不成立，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定及已知可得到题中存在的相似三角形；
（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知，即可求得DB、BC、CE之间的关系．

解答 解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠EAC=60°．
∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．
∵∠D=∠D，∠E=∠E，
∴△DAE∽△DBA∽△ACE．
∴相似三角形共有3对．

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴DB：AC=AB：CE．
∵AB=AC=BC，
∴BC²=DB•CE．

点评 此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．