Question

13．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADB=45°，翻折梯形ABCD，使点B与点D重合，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=6，BC=14，那么cot∠C=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 如图所示：AE⊥BC，DF⊥BC，由等腰梯形的性质可知：△ABE≌△DCF，四边形ADFE为矩形，可求得FC=4，然后证明∠DBF=BDF=45°，于是得到BF=DF，最后利用锐角三角函数的定义求解即可．

解答 解：如图所示：AE⊥BC，DF⊥BC．

∵四边形ABCD是梯形，AE⊥BC，DF⊥BC．
∴AE=DF，
∴△ABE≌△DCF，四边形ADFE为矩形．
∴FC=$\frac{1}{2}$（BC-EF）=$\frac{1}{2}×（14-6）$=4．
∴BF=10．
∵AD∥BC，∠ADB=45°，
∴∠DBF=45°．
又∵∠DFB=90°，
∴∠DBF=BDF=45°．
∴BF=DF=10．
∴cot∠C=$\frac{FC}{DF}=\frac{4}{10}$=$\frac{2}{5}$．
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查的是等腰梯形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，锐角三角函数的定义，求得DF和CF的长是解题的关键．