Question

如图，E、F在边长为2 的正方形ABCD内，使得△DCF为正三角形，△ABE为等腰直角三角形，则阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：如图，首先证得△AMD≌△BNC，求阴影部分面积，就是正方形的面积减去等边△CDF、△AMD和△BNC的面积，求出△AMD的AD边上的高即可解决问题．

解答：解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，
∵△DCF为正三角形，△ABE为等腰直角三角形，
∴∠FDC=∠FCD=60°，∠EAB=∠EBA=45°，
∴∠ADM=∠BCN=30°，∠DAM=∠CBN=45°，
在△AMD和△BNC中，

∠ADM=∠BCN AD=BC ∠DAM=∠CBN

，
∴△AMD≌△BNC（ASA），
过点M作MH⊥AD，垂足为H，
设MH=x，
则AH=MH=x，DH=

3

MH=

3

x，
∴AD=AH+DH=x+

3

x=2
∴x=

3

-1
S_阴影=S_{正方形ABCD}-S_△CDF-S_△AMD-S_△BNC
=2×2-

1

2

×2×2×

3

2

-2×

1

2

×2×（

3

-1）
=6-3

3

．
故答案为：6-3

3

．

点评：此题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及特殊角的三角函数等知识．