Question

将直角三角形OAB放置在平面直角坐标系中，点A（0，6

3

），点B（6，0），点D在边AO上，连接BD，

（Ⅰ）如图①，过点D作DE⊥AB于点E，F为BD的中点，连接OF、EF，设OF=kEF，求k的值；
（Ⅱ）将图①中的△ADE绕点A旋转，使D、E、B三点在一条直线上，如图②，过点O作OG⊥OE交于点G，
     ①求

GB

AE

的值；    
     ②若点F为线段BD的中点，AD=2

3

，直接写出线段OF的长度．

Answer 1

考点：相似形综合题,直角三角形斜边上的中线,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（Ⅰ）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以证到OF=EF，从而得到k的值．
（Ⅱ）①要求

GB

AE

的值，可先证GB、AE所在的两个三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
②由条件AD=2

3

可求出AE=3，DE=

3

，然后利用①中的结论求出GB=

3

，从而得到DE=GB，进而得到点F也是EG的中点，从而有OF=

1

2

EG．在Rt△AEB中，可以求出EB的长，进而求出EG的长，就可求出OF的长．

解答：解：（Ⅰ）如图①，
∵DE⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠DEB=∠DOB=90°．
∵点F是DB的中点，
∴OF=EF=

1

2

DB．
∵OF=kEF，
∴k=1．
∴k的值为1．
（Ⅱ）如图②，
①∵OG⊥OE，
∴∠EOG=90°．
∵∠AOB=90°，
∴∠EOG=∠AOB．
∴∠EOA=∠GOB．
∵∠AED=90°，点D、E、B三点在同一条直线上，
∴∠AEB=90°．
∴∠EAC=90°-∠ACE．
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=90°-∠OCB．
∵∠ACE=∠OCB，
∴∠EAC=∠OBC，即∠EAO=∠GBO．
∵∠GOB=∠EOA，∠GBO=∠EAO，
∴△GBO∽△EAO．
∴

GB

AE

=

OB

OA

．
∵点A（0，6

3

），点B（6，0），
∴AO=6

3

，BO=6，
∴

GB

AE

=

6

6 3

=

3

3

．
②∵∠AOB=90°，AO=6

3

，BO=6，
∴AB=

(6 3 )2+62

=12．
由旋转可得：∠DAE=∠OAB．
又∵∠AED=∠AOB，
∴△AED∽△AOB．
∴

AE

AO

=

DE

BO

=

AD

AB

．
∵AO=6

3

，BO=6，AB=12，
∴

AE

6 3

=

DE

6

=

2 3

12

．
∴AE=3，DE=

3

．
由①中的结论

BG

AE

=

3

3

可得：BG=

3

．
∴DE=BG．
∵DF=BF，
∴EF=GF．
∵∠EOG=90°，
∴OF=

1

2

EG．
在Rt△AEB中，
∵∠AEB=90°，AB=12，AE=3，
∴EB=

122-32

=3

15

．
∴EG=EB-GB=3

15

-

3

．
∴OF=

3 15 - 3

2

．
∴线段OF的长度为

3 15 - 3

2

．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了运用已有的经验和结论解决问题的能力，是一道好题．