Question

5．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）求证：DH²=HE•HC．

Answer 1

分析 （1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，然后通过证明三角形相似，即可得到结论．

解答 （1）证明：∵点D、E分别是BC、AC的中点
∴DE∥AB，BC=2BD，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC=2AB，
∴AB=BD，
∴四边形ABDF是菱形；

（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AF=DF，
∵点G是AF的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$AF，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AF∥BC，
∴$\frac{EF}{DE}$=$\frac{AE}{CE}$=1，
∴EF=$\frac{1}{2}$DF，
∴FG=EF，
在△AFE和△DFG中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DF}\\{∠F=∠F}\\{EF=GF}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠C，
∴∠FDG=∠C，
又∵∠EHD=∠DHC，
∴△HED∽△HDC，
∴$\frac{HE}{HD}$=$\frac{HD}{HC}$，
∴DH²=HE•HC．

点评 本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．