Question

如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），OABC为矩形，反比例函数的图象过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13．
（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；
（2）求四边形OAFC的面积？

Answer 1

解：（1）依题意，得点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（3，2），
将D（3，2）代入，得k=6．
∴反比例函数的解析式为；
设点E的坐标为（m，4），将其代入，得m=，
∴点E的坐标为（，4），
设直线OE的解析式为y=k₁x，
将（，4）代入得k₁=，
∴直线OE的解析式为y=x；

（2）连接AC，如图，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
而AF=12，CF=13．
∴AC²+AF²=5²+12²=13²=CF²，
∴∠CAF=90°，
∴S_{四边形OAFC}=S_△OAC+S_△CAF
=×3×4+×5×12
=6+30
=36．
分析：（1）易得点B的坐标为（3，4），点D的坐标为（3，2），把D（3，2）代入，得k=6，确定反比例函数的解析式；设点E的坐标为（m，4），将其代入，得m=，确定点E的坐标为（，4），然后利用待定系数法可求出直线OE的解析式；
（2）连接AC，在Rt△OAC中，OA=3，OC=4，利用勾股数易得AC=5，则有AC²+AF²=5²+12²=13²=CF²，根据勾股定理的逆定理得到∠CAF=90°，于是四边形OAFC的面积可化为两个直角三角形的面积进行计算．
点评：本题考查了反比例函数的性质：点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了待定系数法和勾股定理及其逆定理以及不规则图形面积的计算方法．