Question

【题目】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=7，AB=CD=15，BC=25，E为腰AB上一点且AE：BE=1：2，F为BC一动点，∠FEG=∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．

（1）求sin∠ABC；

（2）求∠BAC的度数；

（3）设BF=x，CH=y，求y与x的函数关系式及其定义域．

Answer 1

【答案】（1）sin∠ABC=；（2）∠BAC=90°；（3）y=20﹣（8＜x＜25）

【解析】分析：（1）先求出BP=9，再根据勾股定理得，AP=12，即可得出结论，
（2）先求出CP=16，再根据勾股定理得，AC2=400，进而判断出△ABC是直角三角形，即可得出结论；
（3）先求出AE=5，BE=10，进而求出EM=8，BM=6，再分两种情况讨论，
Ⅰ、当点G在BC的延长线上时，判断出△EFM∽△HEA，得出，即可得出结论；
Ⅱ、当点G在边BC上时，同Ⅰ的方法即可得出结论．

详解：

（1）如图1，过点A作AP⊥BC于P，

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴BP=（BC﹣AD）=9，

在Rt△ABP中，根据勾股定理得，AP=12，

∴sin∠ABC=；

（2）如图1，在Rt△ACP中，CP=BC﹣BP=16，

根据勾股定理得，AC2=AP2+CP2=144+256=400，

∵AB=15，BC=25，

∴AB2+AC2=225+400=625=252=BC2，

∴△ABC是直角三角形，

∴∠BAC=90°；

（3）过点E作EM⊥BC于M，

∵AB=15，AE：BE=1：2，

∴AE=5，BE=10，

在Rt△BEM中，sin∠ABC=，

∴EM=8，BM=6，CM=BC﹣BM=25﹣6=19，

当点G和点C重合时，如图4，

在Rt△EMC中，CE=

∵∠B=∠EFC，∠BCE=∠ECF，

∴△BCE∽△ECF，

∴ ，

∴ ，

∴x=8，

当EG∥AC时，如图5，

∴∠ACB=∠EGB，

∵∠B+∠ACB=90°，

∴∠FEG+∠EGB=90°，

∴EF⊥BC，

即：点F和点M重合，

∴BF=BM=6，

∴当6≤x≤8时，EG和AC的延长线相交，不符合题意，

Ⅰ、当点G在BC的延长线上时，

如图2，

∴FM=BF﹣BM=x﹣6，

由（1）知，AC=20，

∴AH=AC﹣CH=20﹣y

∵∠FEG=∠B

∴∠EFG=180°﹣∠G﹣∠FEG=180°﹣∠G﹣∠B，

∵∠BEG=180°﹣∠G﹣∠B，

∴∠EFG=∠BEG，

∴∠EFM=∠AEH，

∵∠EMF=∠HAE=90°，

∴△EFM∽△HEA，

∴，

∴，

∴y=20﹣（8＜x＜25），

Ⅱ、当点G在边BC上时，如图3，

∴FM=BM﹣BF=6﹣x，AH=CH﹣AC=y﹣20，

∵同①的方法得，∠EFG=∠BEG，

∵∠AEH=∠BEG，

∴∠AEH=∠EFG，

∵∠EAH=∠FME，

∴△AEH∽△MFE，

∴，

∴，

∴y=20+=20﹣（0＜x＜6）．

∴y=20﹣（8＜x＜25）．