Question

20．在⊙O中，⊙O的直径为26cm，弦AB∥弦CD，AB=10cm．CD=24cm，求AB与CD间的距离．

Answer 1

分析 作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，由垂径定理得AE=$\frac{1}{2}$AB=5，CF=$\frac{1}{2}$CD=12，由于AB∥CD，易得E、O、F三点共线，在Rt△AOE和Rt△OCF中，利用勾股定理分别计算出OE与OF，然后讨论：当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF；当圆心O在弦A′B′与CD的外部时，AB与CD的距离=OE-OF．

解答 解：如图作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA=OC=13，
则AE=$\frac{1}{2}$AB=5，CF=$\frac{1}{2}$CD=12，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△COF中，OF=$\sqrt{O{C}^{2}-C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
在Rt△AOE中，OE=$\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离=OE+OF=12+5=17；
当圆心O在弦A′B′与CD的外部时，AB与CD的距离=OE-OF=12-5=7．
所以AB与CD的距离是17或7．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用．