Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标；
（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）先根据直线y=x-3求出B、C的坐标，然后将A、B、C的坐标代入抛物线中即可求得抛物线的解析式．
（2）根据（1）的抛物线的解析式用配方或公式法均可求出顶点坐标．
（3）已知了直线BC的解析式，由于OD⊥BC，因此直线OD的斜率与直线BC的斜率的乘积为-1，据此可求出直线OD的解析式．联立直线OD的解析式和抛物线的解析式即可求出M点的坐标．

解答：解：（1）易知：B（3，0），C（0，-3），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），则有：
a（0+1）（0-3）=-3，a=1，
∴y=x²-2x-3．

（2）由（1）知：y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
因此顶点坐标为（1，-4）．

（3）由于直线OD⊥BC，
因此直线OD的解析式为y=-x，
联立抛物线则有：

y=x2-2x-3 y=-x

，
解得

x= 1+ 13 2 y= -1- 13 2

，

x= 1- 13 2 y= 13 -1 2

，
由于点M在第四象限，因此M（

1+ 13

2

，

-1- 13

2

）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的交点等知识点．