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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    已知如图，抛物线y=ax2+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直精英家教网线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
    （3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax2+bx-a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．
    分析：（1）由于抛物线的顶点坐标在y轴上，且坐标为（0，-4），则抛物线的对称轴为y轴，即b=0，a=4，由此确定该抛物线的解析式．
    （2）设出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式，可求得B点的坐标，进而可得OC=4OB；△BOC和△ODB中，可用m表示出BD的长，若两个直角三角形相似，那么直角边对应成比例，即PD=4BD或BD=4PD，由此求得点P的纵坐标，进而可得到点P的坐标．
    （3）若四边形ABPQ为平行四边形，那么PQ=AB=2，那么将点P的坐标向左平移2个单位即可得到点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值．
    解答：精英家教网解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-a的顶点坐标为C（0，-4），
    ∴b=0，a=4；
    ∴抛物线的解析式为y=4x2-4．（2分）

    （2）设P（m，n），由4x2-4=0，
    ∴x=±1，
    ∴A（-1，0），B（1，0）；
    ∵△OBC∽△PBD，
    若∠OCB=∠PBD，则
    OB
    PD
    =
    OC
    BD
    ，
    ∴
    1
    n
    =
    4
    m-1
    ，
    ∴n=
    1
    4
    (m-1)    ，
    此时P(m，
    m-1
    4
    )    ；（4分）
    若∠OCB=∠BPD，则
    OB
    BD
    =
    OC
    PD
    ，
    ∴
    1
    m-1
    =
    4
    n
    ；
    ∴n=4（m-1），
    此时P（m，4（m-1））．（6分）

    （3）假设抛物线存在点Q（x，y）使四边形ABPQ为平行四边形，
    当P（m，4m-4）时，AP的中点R的坐标为：R(
    m-1
    2
    ，2(m-1))    ，
    又∵R又是BQ的中点，
    ∴
    x=m-2
    y=4(m-1)
    ，Q（m-2，4（m-1））；
    ∵Q在抛物线上，
    ∴4（m-1）=4（m-2）2-4，
    ∴m-1=m2-4m+4-1，
    ∴m2-5m+4=0，
    ∴m=4或m=1（舍去）；（8分）
    当P点坐标为(m，
    m-1
    4
    )    时，
    同理，R(
    m-1
    2
    ，
    m-1
    8
    )    ，Q(m-2，
    m-1
    4
    )    ；
    ∵点Q在抛物线上，
    ∴
    m-1
    4
    =4•(m-2)2-4    ；
    ∴16m2-65m+49=0，m=
    49
    16
    或m=1（舍去）；（10分）
    ∴当m=4或
    49
    16
    时，AP与BQ互相平分，四边形ABPQ是平行四边形；
    ∴m=4或
    49
    16
    为所求．（11分）
    （3）另解：可用AB=PQ=2，
    ∴Q(m-2，
    m-1
    4
    )    或Q（m-2，4（m-1）），
    ∵点Q在抛物线上，
    或4（m-2）2-4=4（m-1）；
    解之m=
    49
    16
    或m=1，或m=4或m=1，
    ∵m＞1，
    ∴m=4或
    49
    16
    ．
    点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解．
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    A、一个B、两个C、三个D、四个

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    （1）请求出点A坐标和⊙P的半径；
    （2）请确定抛物线的解析式；
    （3）M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交⊙P于点D．若△AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MB•MD的值．（先画出符合题意的示意图再求解）．

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