Question

如图，梯形ABCD中AB∥CD，∠DAB=90°，AB=4CD，E是腰BC上一点，CE=CD，过点E作EF⊥BC交AD于点F，若F是AD的中点，则下列结论：
①AE⊥DE；②AB=AD；③tan∠EFD=

4

3

；④S_△ABE=16S_△CDE；
其中正确结论的个数是（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：压轴题

分析：连结CF、BF，作CG⊥AB于G，过点E作PH垂直于AB于P，交DC的延长线于点H．由条件可以得出Rt△CDF≌Rt△CEF，Rt△BEF≌Rt△BAF，就可以得出△AED是直角三角形，得出AE⊥DE，AB=BE，在Rt△BGC中由勾股定理就可以求出CG=4CD，得出AD=AB，根据∠EFD=∠ABC，就可以求得tan∠EFD=

4

3

，利用△ECH∽△EBP，就可以得出EH：EP=1：4，根据三角形的面积公式就可以求出S_△ABE=16S_△CDE从而得出结论．

解答：解：连结CF、BF，作CG⊥AB于G，过点E作PH垂直于AB于P，交DC的延长线于点H．
∴∠CGA=∠CGB=∠HPB=90°．
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴∠DCG=90°，△ECH∽△EBP，
∴四边形ADCG是矩形，

HE

PE

=

CE

BE

．
∴∠ADC=90°，CD=AG，CG=AD．
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=∠BEF=90°．
∵在Rt△CDF和Rt△CEF中，

CF=CF DC=EC

，
Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴FD=FE．
∵F是AD的中点，
∴DF=AF．
∴EF=DF=AF=

1

2

AD，
∴△AED为直角三角形，
∴AE⊥DE．本答案正确．
∵在Rt△BEF和Rt△BAF中

EF=AF BF=BF

，
∴Rt△BEF≌Rt△BAF（HL），
∴AB=EB=4CD．
∴BC=5CD．
∵AB=4CD，
∴GB=3CD．
在Rt△GCB中，由勾股定理得
CG=4CD，
∴AD=4CD．
∴AD=AB．本答案正确．
∵

HE

PE

=

CE

BE

，
∴

HE

PE

=

CD

4CD

=

1

4

，
∴PE=4HE．
∵S_△DEC=

CD•EH

2

，S_△ABE=

AB•PE

2

=

4CD•4HE

2

=8CD．HE，
∴

S△DEC

S△ABE

=

CD•EH 2

8CD．HE

=

1

16

，
∴S_△ABE=16S_△CDE；本答案正确．
∵∠EDF+∠AFE=180°，∠ABC+∠AFE=180°，
∴∠EDF=∠ABC，
∴tan∠EFD=tan∠ABC=

CG

GB

=

4

3

，本答案正确．
故选A．

点评：本题考查了直角梯形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，三角函数的运用，直角三角形的判定及性质的运用．解答时正确做出辅助线是解答本题的关键．