Question

设直线y=kx+k-1和直线y=（k+1）x+k（k为正整数）与x轴所围成的图形的面积为S_K（k=1，2，3，…，8），那么S₁+S₂+…+S₈的值为（　　）

• A、

  4

  9

• B、

  7

  16

• C、

  9

  20

• D、

  3

  2

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：当k=1时，求出直线y=x，y=2x+1与x轴的交点坐标分别为（0，0），（-

1

2

，0），再求出它们的交点坐标为（-1，-1），然后根据三角形面积公式得到S₁=

1

2

×

1

2

；利用同样的方法得到S₂=

1

2

（

2

3

-

1

2

），S₃=

1

2

（

3

4

-

2

3

），S₈=

1

2

（

8

9

-

7

8

），最后把它们相加即可．

解答：解：当k=1时，两直线解析式为y=x，y=2x+1，两直线与x轴的交点坐标分别为（0，0），（-

1

2

，0），解方程组

y=x y=2x+1

得

x=-1 y=-1

，即两直线的交点坐标为（-1，-1），所以S₁=

1

2

×（0+

1

2

）×1=

1

2

×

1

2

；
当k=2时，两直线解析式为y=2x+1，y=3x+2，两直线与x轴的交点坐标分别为（-

1

2

，0），（-

2

3

，0），解方程组

y=2x+1 y=3x+2

得

x=-1 y=-1

，即两直线的交点坐标为（-1，-1），所以S₂=

1

2

×（-

1

2

+

2

3

）×1=

1

2

（

2

3

-

1

2

），
同样可得S₃=

1

2

（

3

4

-

2

3

），S₈=

1

2

（

8

9

-

7

8

），
所以S₁+S₂+…+S₈=

1

2

×

1

2

+

1

2

（

2

3

-

1

2

）+

1

2

（

3

4

-

2

3

）+…+

1

2

（

8

9

-

7

8

）=

1

2

（

1

2

+

2

3

-

1

2

+

3

4

-

2

3

+…+

8

9

-

7

8

）=

1

2

×

8

9

=

4

9

．
故选A．

点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（-bk，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）；直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．也考查了规律型问题的解决方法．