Question

【题目】如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上，如图2，△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转．

（1）证明：BE=CD

（2）当AC=ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的旋转角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出角α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）存在，角α=或或.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可得，，由，根据等式的性质可得，根据SAS可证≌，根据全等三角形的性质即可求解；

（2）先由AC=ED,设，，取ED的中点H，把各条线段表示出来,再以从一个顶点发出的线段是否对角线来不重不漏地讨论,前两种情况已经有一组对边相等,只需这组对边平行即可,由平行线的判定,可知只需内错角相等即可,继而得到相应的旋转角度,第3种情况,因为没有判定平行四边形的现成条件,就先假设是平行四边形,在此基础上推得旋转角度,再论证以这个旋转角度为前提的四边形是平行四边形.

解：（1）和都是等腰直角三角形，，

，，，

∴，
∵在与中，，
≌
；

（2）∵AC=ED，设，

∴，

∴，，

∴，

取ED的中点H，则,,

∴,

∴,

①若是四边形的对角线，如下图中的四边形，

要使得四边形是平行四边形,已有,只需,

只需,

②若是四边形的对角线，如下图中的四边形，

同理只需,

∴;

③若是四边形的对角线，如下图中的四边形，

若四边形是平行四边形,

又∵,,

∴四边形是正方形,

∴,,

又因为,,

∴重合,

此时,

∴,

∴,

∴,

又∵

∴四边形是平行四边形;

综上所述:角的度数是或或．