Question

【题目】已知Rt△OAB，∠OAB=90o，∠ABO=30o，斜边OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o，如图1，连接BC．

(1)ΔOBC的形状是 ；

(2)如图1，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；

(3)如图2，点M、N同时从点O出发，在△OCB边上运动，M沿O→C→B路径匀速运动，N沿O→B→C路径匀速运动，当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒，点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒，△OMN的面积为y，求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？(结果可保留根号) ．

Answer 1

【答案】(1)等边三角形；(2) ；(3) 时，y有最大值，

【解析】

（1）根据有一个角为60o的等腰三角形为等边三角形便可判断．

（2）先计算出OA、AB长度，利用面积法便可求出OP．

（3）分三种情况讨论，当0＜x≤时，点N作NE⊥OC，计算NE，便可找到面积的最值；当＜x≤4时，作MH⊥OB于H．计算BM=8﹣1.5x，MH的值，便可找到面积的最值；当＜x≤4时，作OG⊥BC于G．MN=12﹣2.5x，OG的值，便可计算面积最值．

（1）等边三角形

Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o

∴OB=OC ∠BOC=60°

∴ΔOBC的形状为等边三角形．

(2)∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA= OB=2，AB= OA=2，

∴S△AOC= OAAB=×2×2=2，

∵△BOC是等边三角形，∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴AC= =2，∴OP= ．

(3)①当0＜x≤时，M在OC上运动，N在OB上运动，此时过点N作NE⊥OC且交OC于点E．则NE=ONsin60°= ，∴S△OMN= OMNE= ×1.5·，∴．

∴ 时，y有最大值，．

②当＜x≤4时，M在BC上运动，N在OB上运动．

作MH⊥OB于H．则BM=8﹣1.5x，MH=BMsin60°= ，

∴y= ×ON·MH=．当时，y取最大值，，

③当4＜x≤4.8时，M、N都在BC上运动，作OG⊥BC于G．

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，∴y= MNOG=12 ，

当x=4时，y有最大值，，综上所述，y有最大值，．