【题目】定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”.如图,在平面直角坐标系中,矩形的边,点,在边存在点,使得为“智慧三角形”,则点的坐标为:______.
【答案】或或
【解析】
由题可知,“智慧三角形”是直角三角形,因为不确定哪个角是直角,所以分情况讨论,∠CPM=90°或∠CMP=90°,设设点P(3,a),则AP=a,BP=4-a,根据勾股定理求出CP2,MP2,CM2,根据∠CPM=90°或∠CMP=90°,可以得到这三条边的关系,解之即可.
解:由题可知,“智慧三角形”是直角三角形,∠CPM=90°或∠CMP=90°
设点P(3,a),则AP=a,BP=4-a
①若∠CPM=90°,在Rt△BCP中,
在Rt△MPA中,
在Rt△MCP中,
又∵
∴2a2-8a+26=20
即(a-3)(a-1)=0
解得a=3或a=1
∴P(3,3)或(3,1)
②若∠CMP=90°,在Rt△BCP中
在Rt△MPA中,
∵
在Rt△MCP中,
即
∴
综上,或(3,1)或(3,3)
故答案为或(3,1)或(3,3).
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【题目】如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( )
A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm
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【题目】(1)、问题:如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD·BC=AP·BP.
(2)、探究:如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)、应用:请利用(1)(2)获得的经验解决问题:
如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度,由点A 出发,沿边AB向点B运动,且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒),当DC的长与△ABD底边上的高相等时,求t的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,四边形是正方形,作直线与正方形边所在直线相交于
(1)若直线经过点,求的值;
(2)若直线平分正方形的面积,求的坐标;
(3)若的外心在其内部,直接写出的取值范围.
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【题目】已知Rt△OAB,∠OAB=90o,∠ABO=30o,斜边OB=4,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60o,如图1,连接BC.
(1)ΔOBC的形状是 ;
(2)如图1,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;
(3)如图2,点M、N同时从点O出发,在△OCB边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止.已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x秒,△OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?最大值为多少?(结果可保留根号) .
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【题目】如图,在平面角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形△AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1,将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后,再将各边长扩大一倍,得到等腰直角三角形A1OB1;将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后,再将各边长扩大一倍,得到等腰三角形A2OB2......依此规律,得到等腰直角三角形A2017OB2017,则点B2017的坐标_________ .
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1,0)和点B(4,0),且与y轴交于点C,点D的坐标为(2,0),点P(m,n)是该抛物线上的一个动点,连接CA,CD,PD,PB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时,求点P的坐标;
(3)当m>0,n>0时,过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F,过点F作FG⊥x轴于点G,连接EG,请直接写出随着点P的运动,线段EG的最小值.
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【题目】如图,在ABCD中,CF⊥AB于点F,过点D作DE⊥BC的延长线于点E,且CF=DE.
(1)求证:△BFC≌△CED;
(2)若∠B=60°,AF=5,求BC的长.
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【题目】菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=16,BD=12,动点P在线段AC上从点A向点C以4个单位/秒的速度运动,过点P作EF⊥AC,交菱形ABCD的边于点E、F,在直线AC上有一点G,使△AEF与△GEF关于EF对称.设菱形ABCD被四边形AEGF盖住部分的面积为S1,未被盖住部分的面积为S2,点P运动时间为x秒.
(1)用含x的代数式分别表示S1,S2;
(2)若S1=S2,求x的值.
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