Question

【题目】已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．

（1）直接写出点的坐标为________；

（2）如图，若、两点在原点的两侧，且，四边形为正方形，其中顶点、在轴上，、位于抛物线上，求点的坐标；

（3）若线段，点为反比例函数与抛物线在第一象限内的交点，设的横坐标为，当时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）把函数变形为顶点式即可求解；

（2）设A（x1，0），B（x2，0），易得x1＋x2＝2，又OA＝3OB得到x1＝3x2，求出x1，x2，得到A，B坐标，将B（1，0）代入抛物线求出a，设E（m，0），则，EN＝（m2＋2m3），根据题意，得 2m＋2＝（m2＋2m3），解得m的值即可求解；

（3）由线段AB＝2，得A（2，0），B（0，0），a＝4，y＝4x2＋8x，当1＜m＜3时，对于抛物线y＝4x2＋8x，y随x的增大而增大，对于反比例函数，y随x的增大而减小，当x＝1时，双曲线在抛物线上方，即＞4×12＋8×1，解得k＞12，当x＝3时，双曲线在抛物线下方，即＜4×32＋8×3，解得k＜180，所以k的取值范围12＜k＜180．

（1）∵y＝ax2＋2ax＋a4＝a（x＋1）24，

∴P（1，4）；

故答案为：（1，4）；

（2）设点，

∵抛物线的对称轴为

∴

则

又

∴

∴

得，

∴A（3，0），B（1，0），

把点代入得

解得

∴

设点坐标为，F（n,0）

∴，∴n=-m-2

∴，

根据题意得

解得，（舍去）

∴点的坐标为；

（3）∵，抛物线的对称轴为

所以，，

把（0，0）代入得，

解之得，，

∴，

当，对于抛物线来说，随增大而增大；

对于，随增大而减小，所以当时，双曲线在抛物线的上方，

即，解之得，

当时，双曲线位于抛物线的下方，即，解之得，

所以的取值范围为．