Question

【题目】直线与双曲线只有一个交点A（1，2），且与x轴、y轴分别交于B、C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，

求：（1）直线、双曲线的解析式．

（2）线段BC的长；

（3）三角形BOC的内心到三边的距离．

Answer 1

【答案】（1）y=-2x+4，y＝；（2）2；（3）3-．

【解析】

（1）首先根据待定系数法确定双曲线的解析式，然后根据直线，双曲线只有一个交点，利用一元二次方程的判别式可以确定直线的解析式；
（2）根据（1）的结论可以确定OB，OC的长，再利用勾股定理可以确定BC的长；
（3）根据（2）结合内切圆的知识可以得内心到三边的距离．

解：（1）把A（1，2）代入得k2=2，代入y=k1x+b得2=k1+b，
直线y=k1x+b与双曲线只有一个交点A，
∴y＝=k1x+b，
∴k1x2+bx-2=0
∴根的判别式△=b2-4k1×（-2）=b2+8k1=0，
∴b=4，k1=-2，
∴y=-2x+4，y＝；
（2）当x=0时，y=4，当y=0时，x=2，
∴B（2，0），C（0，4），
∴BC=2；
（3）如图，∵OB=2，OC=4，BC=2，

∴根据切线长定理得到Rt△OBC的内心P到三边的距离r= （OB+OC-BC）=3-．