【题目】如图,在边长为2的正方形中,为的中点,为边上一动点,设,线段的垂直平分线分别交边、于点、,过作于点,过作于点.
(1)当时,求证:;
(2)顺次连接、、、,设四边形的面积为,求出与自变量之间的函数关系式,并求的最小值.
【答案】(1)见解析;(2),的最小值为2
【解析】
(1)由四边形是正方形得到,,又由,利用ASA即可证得;
(2)分为两种情况:①当在上时,由点是边的中点,,,又由勾股定理求得,由得到的值,又求得面积,由范围得到的最小值;②当在上时,同法可求的最小值.
解:(1)证明:∵四边形是正方形,
∴,,
∵,,
∴,
∴四边形、都是矩形,
∴,,,
∴MF=QE
又∵,
∴,,
∵,
∴,
又∵,
∴;
(2)解:分为两种情况:①当在上时,
∵点是边的中点,,,
∴,,,
由勾股定理,得,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∵0≤AE≤AP
∴,
∴当时,.
②当在上时,
∵点是边的中点,,,
∴,,,
由勾股定理,得,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∵AP≤AE≤AB
∴,
∴当时,.
综上:,的最小值为2.
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【题目】如图,四边形是正方形,是等边三角形,为对角线(不含点)上任意一点,将绕点逆时针旋转60°得到,连接、、.
(1)求证;
(2)①当点在何处时,的值最小;
②当点在何处时,的值最小,并说明理由;
(3)当的最小值为时,求正方形的边长.
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【题目】北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处,横跨云贵两省,为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图,图2是从图1中引申出的平面图,测得桥护栏BG=1.8米,拉索AB与护栏的夹角是26°,拉索ED与护栏的夹角是60°,两拉索底端距离BD为300m,若两拉索顶端的距离AE为90m,请求出立柱AH的长.(tan26°≈0.5,sin26°≈0.4,1.7)
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【题目】如图,在下列18×7的网格中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,例如A(﹣8,0)、B(﹣4.3)都是格点.
(1)直接写出△ABO的形状:
(2)要求在图中仅用无刻的直尺画图:将△ABO绕点O顺时针旋转得△DEO,且点B的对应点E落在x轴正半轴上.
操作如下:
第一步:在x正半轴上找一个格点E,使OE=OB;
第二步:找一个格点F,使∠EOF=∠AOB;
第三步:找一个格点M,作直线AM交直线OF于D,连DE,则△DEO即为所作出的图形.请你按以上操作完成画图.并直接写出点E,F,M三点的坐标.
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【题目】已知:如图,以等边△ABC的边BC为直径作⊙O,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DF⊥AC交AC于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若等边△ABC的边长为8,求由、DF、EF围成的阴影部分面积.
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【题目】如图,抛物线的图象与轴交于与与直线交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,点是抛物线上(轴下方)的一个动点,过点作轴的平行线与直线交于点试判断在点运动过程中,以点为顶点的四边形能否构成平行四边形,若能,请求出点的坐标;若不能,请说明理由.
(3)如图2,点是抛物线的顶点,抛物线的对称轴交轴于点当点在抛物线上之间运动时,连接交于点连接并延长交于点猜想在点的运动过程中,的和是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个红色的乒乓球,这些球除颜色外其余均相同,搅拌均匀后,从这个袋子里随机摸出一个乒乓球,是红球的概率是
(1)求该袋子中红球的个数;
(2)小亮取出3个白色乒乓球分别表上1,2,3个数字,装入另一个不透明的袋子里搅拌均匀,第一次从袋子里摸出一个球并记录下该球上的数字,重新放回袋子中搅拌均匀,第二次从袋子中摸出一个球并记录下该球上的数字,求这两个数字之积是3的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解)
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【题目】若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
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【题目】直线与双曲线只有一个交点A(1,2),且与x轴、y轴分别交于B、C两点,AD垂直平分OB,垂足为D,
求:(1)直线、双曲线的解析式.
(2)线段BC的长;
(3)三角形BOC的内心到三边的距离.
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