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【题目】已知:如图,以等边ABC的边BC为直径作⊙O,分别交AB,AC于点D,E,过点DDFACAC于点F.

(1)求证:DF是⊙O的切线;

2)若等边ABC的边长为8,求由、DF、EF围成的阴影部分面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】(1)连接CD、OD,先利用等腰三角形的性质证AD=BD,再证ODABC的中位线得DOAC,根据DFAC可得;

(2)连接OE、作OGAC,求出EF、DF的长及∠DOE的度数,根据阴影部分面积=S梯形EFDO-S扇形DOE计算可得.

1)如图,连接CD、OD,

BC是⊙O的直径,

∴∠CDB=90°,即CDAB,

又∵△ABC是等边三角形,

AD=BD,

BO=CO,

DOABC的中位线,

ODAC,

DFAC,

DFOD,

DF是⊙O的切线;

(2)连接OE、作OGAC于点G,

∴∠OGF=DFG=ODF=90°,

∴四边形OGFD是矩形,

FG=OD=4,

OC=OE=OD=OB,且∠COE=B=60°,

∴△OBDOCE均为等边三角形,

∴∠BOD=COE=60°,CE=OC=4,

EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2DOE=60°,

EF=FG-EG=2,

则阴影部分面积为S梯形EFDO-S扇形DOE

=×(2+4)×2-

=.

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