Question

如图，已知点M，N，P，Q分别是凸四边形ABCD四边的中点，在下列4个命题中：
①四边形MNPQ是梯形；
②当四边形ABCD的对角线相等时，四边形MNPQ是菱形；
③当四边形ABCD的对角线垂直时，四边形MNPQ是矩形；
④当四边形ABCD的对角线相等且垂直时，四边形MNPQ是正方形．
正确的有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：连接AC、BD，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形MNPQ是平行四边形，再根据对角线的情况对②③④小题进行判定即可得解．
解答：解：如图，连接AC、BD，
∵点M，N，P，Q分别是凸四边形ABCD四边的中点，
∴MN∥AC，MN=AC，PQ∥AC，PQ=AC，
∴MN∥PQ，MN=PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，故①小题错误；
当四边形ABCD的对角线相等时，同理可得NP=MQ=BD，
所以，MN=NP=PQ=MQ，
所以，四边形MNPQ是菱形，故②小题正确；
当四边形ABCD的对角线垂直时，可以证明∠M=90°，
所以，四边形MNPQ是矩形，故③小题正确；
当四边形ABCD的对角线相等且垂直时，四边形MNPQ既是菱形也是矩形，所以是正方形，故④小题正确，
综上所述，正确的是②③④共3个．
故选C．
点评：本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定，矩形的判定以及正方形的判定，连接对角线，利用三角形的中位线定理得到四边形MNPQ的边的关系是解题的关键．