Question

（2012•海门市模拟）如图，菱形ABCD的边长为1，BD=1，E，F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=1，设△BEF的面积为s，则s的取值范围是（　　）

• A．

  1

  4

  ≤s≤1
• B．

  3 3

  4

  ≤s≤

  3

• C．

  3 3

  16

  ≤s≤

  3

  4

• D．

  3 3

  8

  ≤s≤

  3

  2

Answer 1

分析：利用菱形的性质和正三角形的特点可证得△BDE≌△BCF；继而可得△BEF为正三角形，然后作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算即可求得答案．

解答：解：菱形ABCD的边长为1，BD=1，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=1，而AE+CF=1，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，

DE=CF ∠BDE=∠C BD=BC

，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；
设BE=BF=EF=x，
则S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x最小为：1×sin60°=

3

2

，
∴S_最小=

3

4

×（

3

2

）²=

3 3

16

，
当BE与AB重合时，x最大，
∵菱形ABCD的边长为1，
∴AB=1，
∴x最大为1，
∴S_最大=

3

4

×1²=

3

4

，
∴

3 3

16

≤s≤

3

4

．
故选C．

点评：此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形的面积问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．