Question

5．已知一次函数y=$-\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）求点A、B的坐标和∠BAO的度数；
（2）点C、D分别是线段OA、AB上一动点，且CD=DA，设线段OC的长度为x，S_△OCD=y，请写出y关于x的函数及自变量的取值范围；
（3）点C、D分别是射线OA、BA上一动点，且CD=DA，当△ODB为等腰三角形时求C点坐标．

Answer 1

分析 （1）对于一次函数解析式，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出OA与OB的值，得到A、B两点的坐标，然后根据三角函数求出∠BAO的度数；
（2）先证明△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AD=CD=AC=3-x．作DM⊥x轴于点M，在Rt△ADM中利用正弦函数的定义求出DM=AD•sin∠DAM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），然后根据S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•DM即可求出y关于x的函数解析式；
（3）在Rt△OAB中，求出AB=2OA=6．当△ODB为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①BD=BO=3$\sqrt{3}$；②OD=OB=3$\sqrt{3}$；③DO=DB．

解答 解：（1）对于一次函数y=$-\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
令x=0，求得：y=3$\sqrt{3}$；令y=0，求得：x=3，
所以OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，
A（3，0），B（0，3$\sqrt{3}$），
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{3\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BAO=60°；

（2）∵OC=x，
∴AC=OA-OC=3-x．
∵CD=DA，∠BAO=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=CD=AC=3-x．
如右图，作DM⊥x轴于点M，则DM=AD•sin∠DAM=（3-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x），
∵S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•DM，
∴y=$\frac{1}{2}$x•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-x）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$x（0＜x＜3）；

（3）在Rt△OAB中，OA=3，OB=3$\sqrt{3}$，∠BAO=60°，
则AB=2OA=6．
当△ODB为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：
①如图（3）①，当BD=BO=3$\sqrt{3}$时，AD=AB-BD=6-3$\sqrt{3}$，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=6-3$\sqrt{3}$，
∴OC=OA-AC=3-（6-3$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$-3，
∴C点坐标为（3$\sqrt{3}$-3，0）；
②如图（3）②，当OD=OB=3$\sqrt{3}$时，∠ODB=∠OBD=30°，
∵∠AOD=∠BAO-∠ODB=60°-30°=30°，
∴∠ODB=∠AOD=30°，
∴OA=AD=3，
∵CD=DA，∠CAD=∠BAO=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=3，
∴OC=OA+AC=3+3=6，
∴C点坐标为（6，0）；
③如图（3）③，当DO=DB时，D在OB的垂直平分线上，
则D为AB的中点，AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵CD=DA，∠CAD=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AC=AD=3，
∴C与原点重合，
∴C点坐标为（0，0）；
综上所述，所求C点坐标为（3$\sqrt{3}$-3，0）或（6，0）或（0，0）．

点评 本题是一次函数的综合题，其中涉及到一次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，三角形的面积，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，难度适中．利用分类讨论、数形结合是解题的关键．