【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A(﹣1,0)、B(4,0),与y轴相交于点C.
(1)求该函数的表达式;
(2)点P为该函数在第一象限内的图象上一点,过点P作PQ⊥BC,垂足为点Q,连接PC.
①求线段PQ的最大值;
②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+
x+2;(2)①当t=2时,线段PQ的最大值为
;②满足条件的P点坐标为(3,2)或(
,
).
【解析】
(1)设交点式y=a(x+1)(x-4),再展开可得到-4a=2,解得a=-,然后写出抛物线解析式;
(2)①作PN⊥x轴于N,交BC于M,如图,先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+2,设P(t,﹣
t2+
t+2),则M(t,-
t+2),用t表示出PM=-
t2+2t,再证明△PQM∽△BOC,利用相似比得到PQ=﹣
t2+
t,然后利用二次函数的性质解决问题;
②讨论:当∠PCQ=∠OBC时,△PCQ∽△CBO,PC∥x轴,利用对称性可确定此时P点坐标;当∠CPQ=∠OBC时,△CPQ∽△CBO,则∠CPQ=∠MPQ,所以△PCM为等腰三角形,
则PC=PM,利用两点间的距离公式得到t2+(﹣ t2+
t+2﹣2)2=(﹣
t2+2t)2,然后解方程求出t得到此时P点坐标.
(1)抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣4),
即y=ax2﹣3ax﹣4a,
则﹣4a=2,解得a=﹣ ,
所以抛物线解析式为y=﹣x2+
x+2;
(2)①作PN⊥x轴于N,交BC于M,如图,
BC=,
当x=0时,y=﹣x2+
x+2=2,则C(0,2),
设直线BC的解析式为y=mx+n,
把C(0,2),B(4,0)得,解得
,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+2,
设P(t,﹣ t2+
t+2),则M(t,﹣
t+2),
∴PM=﹣t2+
t+2﹣(﹣
t+2)=﹣
t2+2t,
∵∠NBM=∠NPQ,
∴△PQM∽△BOC,
∴,即PQ=
,
∴PQ=﹣t2+
t=﹣
(t﹣2)2+
,
∴当t=2时,线段PQ的最大值为;
②当∠PCQ=∠OBC时,△PCQ∽△CBO,
此时PC∥OB,点P和点C关于直线x=对称,
∴此时P点坐标为(3,2);
当∠CPQ=∠OBC时,△CPQ∽△CBO,
∵∠OBC=∠NPQ,
∴∠CPQ=∠MPQ,
而PQ⊥CM,
∴△PCM为等腰三角形,
∴PC=PM,
∴t2+(﹣ t2+
t+2﹣2)2=(﹣
t2+2t)2,
解得t=,
此时P点坐标为(,
),
综上所述,满足条件的P点坐标为(3,2)或(,
).
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【题目】中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高,内容丰富,某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛,对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级,并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合统计图中的信息,回答下列问题:
(1)扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为 度,并将条形统计图补充完整.
(2)此次比赛有四名同学活动满分,分别是甲、乙、丙、丁,现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛,请用列表法或画树状图法,求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.
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【题目】无影塔位于河南汝南城南,俗传冬至正午无塔影,故称无影塔;相传为唐代和尚悟颗所建,故又称“悟颖塔”,该塔应建于北宋中、早期,为豫南地区现存最古之砖塔.某数学小组为了度量塔高进行了如下操作:用一架无人机在距离塔基8米处垂直起飞30米至点
处,测得塔基
处的俯角为
,将无人机沿水平方向向右飞行
米至点
,在此处测得塔顶
的俯角为
,请依据题中数据计算无影塔的高度.(结果精确到
,参考数据:
,
)
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【题目】如图,已知平行四边形ABCD,过A点作AM⊥BC于M,交BD于E,过C点作CN⊥AD于N,交BD于F,连接AF、CE.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形;
(2)当AECF为菱形,M点为BC的中点时,求AB:AE的值.
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【题目】某校为了庆祝建国七十周年,决定举办一台文艺晚会,为了了解学生最喜爱的节目形式,随机抽取了部分学生进行调查,规定每人从“歌曲”,“舞蹈”,“小品”,“相声”和“其它”五个选项中选择一个,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表,请根据图中信息,解答下列题:
最喜爱的节目 | 人数 |
歌曲 | 15 |
舞蹈 | a |
小品 | 12 |
相声 | 10 |
其它 | b |
(1)在此次调查中,该校一共调查了 名学生;
(2)a= ;b= ;
(3)在扇形计图中,计算“歌曲”所在扇形的圆心角的度数;
(4)若该校共有1200名学生,请你估计最喜爱“相声”的学生的人数.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,,以BC为直径作
交AB于点E,D为AC边的中点,连接OD、DE,
(1)求证:DE是的切线.
(2)填空:①若,
,则
的半径长是__________.
②当∠A=__________时,四边形OCDE是正方形.
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【题目】我市某初中课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):
182 | 195 | 201 | 179 | 208 | 204 | 186 | 192 | 210 | 204 |
175 | 193 | 200 | 203 | 188 | 197 | 212 | 207 | 185 | 206 |
188 | 186 | 198 | 202 | 221 | 199 | 219 | 208 | 187 | 224 |
(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:
谷粒颗数 | 175≤x<185 | 185≤x<195 | 195≤x<205 | 205≤x<215 | 215≤x<225 |
频数 | 8 | 10 | 3 | ||
对应扇形 图中区域 | D | E | C |
(2)如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为 度,扇形B对应的圆心角为 度;
(3)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株?
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【题目】如图,△ABC中,A,B两个顶点在x轴上方,点C的坐标是(﹣1,0),以点C为位似中心,在x轴的下方作△ABC的位似图形,并把△ABC的边长放大到原来的2倍,得到△A'B'C',设点B的对应点B'的横坐标为2,则点B的横坐标为( )
A.﹣1B.C.﹣2D.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点
、
分别在
、
轴的正半轴上,顶点
的坐标为
.点
是边
上的一个动点(不与
、
重合),反比例函数
的图象经过点
且与边
交于点
,连接
.
(1)当点是边
的中点时,求反比例函数的表达式
(2)在点的运动过程中,试证明:
是一个定值.
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