Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．

（1）求该函数的表达式；

（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．

①求线段PQ的最大值；

②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①当t＝2时，线段PQ的最大值为；②满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．

【解析】

（1）设交点式y=a（x+1）（x-4），再展开可得到-4a=2，解得a=-，然后写出抛物线解析式；

（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+2，设P（t，﹣ t2+t+2），则M（t，-t+2），用t表示出PM=-t2+2t，再证明△PQM∽△BOC，利用相似比得到PQ=﹣t2+t,然后利用二次函数的性质解决问题；

②讨论：当∠PCQ=∠OBC时，△PCQ∽△CBO，PC∥x轴，利用对称性可确定此时P点坐标；当∠CPQ=∠OBC时，△CPQ∽△CBO，则∠CPQ=∠MPQ，所以△PCM为等腰三角形，

则PC=PM，利用两点间的距离公式得到t2+（﹣ t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，然后解方程求出t得到此时P点坐标．

（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），

即y＝ax2﹣3ax﹣4a，

则﹣4a＝2，解得a＝﹣ ，

所以抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；

（2）①作PN⊥x轴于N，交BC于M，如图，

BC＝，

当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，则C（0，2），

设直线BC的解析式为y＝mx+n，

把C（0，2），B（4，0）得，解得 ，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，

设P（t，﹣ t2+t+2），则M（t，﹣ t+2），

∴PM＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t，

∵∠NBM＝∠NPQ，

∴△PQM∽△BOC，

∴，即PQ＝，

∴PQ＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+，

∴当t＝2时，线段PQ的最大值为；

②当∠PCQ＝∠OBC时，△PCQ∽△CBO，

此时PC∥OB，点P和点C关于直线x＝对称，

∴此时P点坐标为（3，2）；

当∠CPQ＝∠OBC时，△CPQ∽△CBO，

∵∠OBC＝∠NPQ，

∴∠CPQ＝∠MPQ，

而PQ⊥CM，

∴△PCM为等腰三角形，

∴PC＝PM，

∴t2+（﹣ t2+t+2﹣2）2＝（﹣t2+2t）2，

解得t＝，

此时P点坐标为（，），

综上所述，满足条件的P点坐标为（3，2）或（，）．