Question

（2012•日照）如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3，0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）．
（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；
（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、D两点的坐标代入二次函数解析式可得二次函数解析式中b，c的值，让二次函数的y等于0求得抛物线与x轴的交点B，把B、D两点代入一次函数解析式可得直线BD的解析式；
（2）得到用a表示的EF的解析式，跟二次函数解析式组成方程组，得到含y的一元二次方程，进而根据y=-3求得合适的a的值即可．

解答：解：（1）将A（-3，0），D（-2，-3）的坐标代入y=x²+bx+c得，

9-3b+c=0 4-2b+c=-3

，
解得：

b=2 c=-3

，
∴y=x²+2x-3    
由x²+2x-3=0，
得：x₁=-3，x₂=1，
∴B的坐标是（1，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，则

k+b=0 -2k+b=-3

，
解得：

k=1 b=-1

，
∴直线BD的解析式为y=x-1；  

（2）∵直线BD的解析式是y=x-1，且EF∥BD，
∴直线EF的解析式为：y=x-a，
若四边形BDFE是平行四边形，
则DF∥x轴，
∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3．
由

y=x2+2x-3 y=x-a

，得
y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，
解得：y=

-(2a+1)± 13-4a

2

．
令

-(2a+1)± 13-4a

2

=-3，
解得：a₁=1，a₂=3．
当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；
∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意．
∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．

点评：综合考查二次函数的知识；用到的知识点为：平面直角坐标系中，两直线平行，一次项系数的值相等；两个点所在的直线平行，这两个点的纵坐标相等．