Question

（2012•日照）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G．求证：
（1）CG=BH；
（2）FC²=BF•GF；
（3）

FC2

AB2

=

GF

GB

．

Answer 1

分析：（1）由互余关系得出∠BAH=∠CBG，而∠AHB=∠BGC=90°，AB=BC，可证△ABH≌△BCG，得出结论；
（2）在Rt△BCF中，CG⊥BF，利用互余关系可证△CFG∽△BFC，利用相似比得出结论；
（3）根据Rt△BCF中，CG⊥BF，同理可证△BCG∽△BFC，利用相似比得出BC²=BG•BF，即AB²=BG•BF，结合（2）的结论求比．

解答：证明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE，
∴CG⊥BF，
∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，
∠BAH+∠ABH=90°，
∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG，
AB=BC，
∴△ABH≌△BCG，
∴CG=BH； 
     
（2）∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=90°，
∴△CFG∽△BFC，
∴

FC

BF

=

GF

FC

，
即FC²=BF•GF；    
             
（3）同（2）可知，BC²=BG•BF，
∵AB=BC，
∴AB²=BG•BF，
∴

FC2

BC2

=

FG•BF

BG•BF

=

FG

BG

，
即

FC2

AB2

=

GF

GB

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质．关键是由垂足得出互余关系求角相等，由边相等证明三角形全等，由角相等证明相似三角形，利用性质解题．