Question

【题目】综合题，如图，正方形ABCD。
（1）请在图①中作两条直线，使它们将正方形ABCD的面积三等分；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，在图②中过顶点A作两条直线，使它们将矩形ABCD的面积三等分，井说明理由；

（3）如图③，农博园有一块不规则的五边形ABCDE空地，其中AB∥CD、AE∥BC，AB=AC=100米，AE=160米，BC=120米，CD=62.5米，根据视觉效果和花期特点，农博园设计部门想在这片空地种上等面积的三种不同的花，要求从入口A点处修两条笔直的小路（小路的面积忽略不计）方便游客赏花，两条小路将这块地面积三等分．请通过计算画图说明其设计部们能否实现，若能实现请确定小路尽头的位置．

Answer 1

【答案】
（1）解：在正方形ABCD中，

分别取BC、AD的三等分点E、F、G、H，

作直线EG、FH，

即把正方形ABCD的面积三等分；

如图1所示：

（2）解：在矩形ABCD中，

分别取BC、CD的三等分点E、F、G、H，

作直线AF、AG，

即把正方形ABCD的面积三等分；

如图2所示；

问题解决

（3）解：作AF⊥BC于F，延长CD交AE于G，如图3所示：

∵AB=AC，

∴BF=CF= BC=60米

∴AF= = =80（米），

∵AB∥CD、AE∥BC，

∴四边形ABCG是平行四边形，

∴平行四边形ABCG的面积=BCAF=120×80=9600（平方米），

∴CG=AB=100米，AG=BC=120米，DG=CG﹣CD=100﹣62.5=37.5（米），GE=AE﹣AG=160﹣120=40（米），

∴ = = ，

∵AF=80米，

∴根据平行线截得的线段成比例：△DGE的GE边上的高为：30米，

∴S△DGE= ×30×40=600（平方米），

五边形ABCDE的面积=平行四边形ABCG的面积+S△DGE=9600+600=10200（平方米），

则三等分面积为3400平方米，

设在BC边上截取点H，使△ABH的面积为3400平方米，

即 AFBH=3400， ×80BH=3400，

解得：BH=85（米），

∵S△ABC= BCAF= ×120×80=4800（平方米），

∴S△ACH=S△ABC﹣S△ABH=4800﹣3400=1400（平方米），

∵S△ACD=480× =300（平方米），140+200=340（平方米），

∴在CD上取CD的第二个三等分点M，CM= CD= （米），

∴直线AH、AM就可把五边形面积三等分，

∴H、M点就是小路尽头的位置．

【解析】（1）分别取BC、AD的三等分点E、F、G、H，即可，也可以取AD的三等分点G、H。过点G、H分别作BC的垂线；（2）分别取BC、CD的三等分点E、F、G、H，连接AF、AG，即可；（3）此小题综合性强，抓住已知条件AB∥CD、AE∥BC，所以延长延长CD交AE于G，构造平行四边形ABCG，已知AB=AC=100米，得等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，过点A作AF⊥BC于F,求得AF的长，就可以求得平行四边形ABCG的面积。易得DG：CD=，由AF=80，可以得到△DGE的GE边上的高为：80=30米，得到△DGE的面积，从而可求得五边形ABCDE的面积为10200（平方米），要将此五边形的面积三等分，就得出三等分图形的面积，在△ABC的BC边取一点H，使△ABH的面积为3400，可以求得BH的长。再求出△ACH的面积，再求出M点的位置，作出直线即可。
【考点精析】掌握平行四边形的性质和正方形的性质是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．