Question

16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x²+bx+c经过点A（2，0），B（0，2），点P是抛物线上一动点，连接BP，OP．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若△BOP是以BO为底边的等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求解可得；
（2）根据△BOP是以BO为底边的等腰三角形知点P的纵坐标为1，即可得-x²+x+2=1，解之可得其横坐标．

解答 解：（1）将点A（2，0），B（0，2）代入y=-x²+bx+c，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-4+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴这条抛物线的解析式为y=-x²+x+2；

（2）∵△BOP是以BO为底边的等腰三角形，且OB=2，
∴点P的纵坐标为1，
当y=1时，-x²+x+2=1，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，1）或（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，1）．

点评 本题主要考查待定系数法求函数解析式和等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法和等腰三角形的三线合一性质是解题的关键．